Seien
und
Vektorräume.
die Basis des Vektorraums
. Die Abbildung
ist genau dann ein Isomorphismus
4.3, wenn
eine Basis von
ist. Der Satz gilt auch umgekehrt.
Sei
ein
Vektorraum und
seine Basis. Wir nennen den Isomorphimus
kanonischen Basisisomorphimus. Bei Bedarf bezeichnet man ihn mit
.
Wir sehen hier, dass wir die Definition des kanonischen Basisisomorphimusses ausnutzen können, um aus einer Basis mit Einheitsvektoren (die kanonische Basis) und den Basisvektoren des Vektorraums
eine Matrix zu machen, die zwischen den beiden Vektorräumen transformiert. Wir tun dies einfach, indem wir die Vektoren der Basis von
hineinander in die Matrix schreiben.