Der Beweis läuft mit Hilfe des Austauschlemmas. Das Austauschlemma nimmt einen Vektor aus der Basis und fügt einen anderen ein:
Austauschlemma
Geben ist ein
![$K-$](lineare_algebra_grundlagenimg380.png)
Vektorraum
![$V$](lineare_algebra_grundlagenimg381.png)
mit der Basis
und ein
![$w$](lineare_algebra_grundlagenimg383.png)
mit
und
So ist
wieder eine Basis von
![$V$](lineare_algebra_grundlagenimg387.png)
.
Man kann also
gegen
austauschen. (Die anderen
![$\lambda_{1}\ldots\lambda_{r}$](lineare_algebra_grundlagenimg390.png)
ohne
![$\lambda_{k}$](lineare_algebra_grundlagenimg391.png)
müssen nicht unbedingt 0 sein, können es aber.)
Beweis des Austauschlemmas
- Wir nehmen zur Vereinfachung der Schreibweise an, daß
ist. Wir zeigen also, daß
auch eine Basis von
ist.
- Alle Vektoren
lassen sich als Linearkombination der Basis3.2 herstellen:
- Da
können wir wie folgt umformen
- Nun können wir dies in
einsetzen
Die neue Basis ist zumindest ein Erzeugendensystem
- Zu zeigen ist jetzt noch die lineare Unabhängigkeit
Einsetzen von
:
Also
, da
linear unabhängig war (
) und
, da
.
linear unabhängig
Beweis des Austauschsatzes
Nachdem wir nun bewiesen haben, dass man einen Vektor
![$v_{k}$](lineare_algebra_grundlagenimg411.png)
aus der Basis nehmen kann und gegen den Vektor
![$w$](lineare_algebra_grundlagenimg412.png)
tauschen kann, wenn das dazugehörige
![$\lambda_{k}\not=0$](lineare_algebra_grundlagenimg413.png)
ist (kann man durch Umnummerieren an die richtige Stelle stellen), müssen wir beweisen, das es tatsächlich immer ein
![$\lambda_{k}\not=0$](lineare_algebra_grundlagenimg414.png)
für einen Vektor der alten Basis gibt, so dass wir die Vektoren nacheinander austauschen können: