Sei
![$f:X\rightarrow X$](lineare_algebra_grundlagenimg526.png)
. Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i)
![$f$](lineare_algebra_grundlagenimg527.png)
ist injektiv
(ii)
![$f$](lineare_algebra_grundlagenimg528.png)
ist surjektiv
(iii)
![$f$](lineare_algebra_grundlagenimg529.png)
ist bijektiv
(iii)
![$\rightarrow$](lineare_algebra_grundlagenimg530.png)
(i) oder (ii)
![$\,\,\,\,$](lineare_algebra_grundlagenimg531.png)
und
![$\,\,\,\,$](lineare_algebra_grundlagenimg532.png)
(i) und (ii)
![$\rightarrow$](lineare_algebra_grundlagenimg533.png)
(iii)
![$\,\,\,\,$](lineare_algebra_grundlagenimg534.png)
sind klar.
Zu beweisen ist 1. (i)
![$\rightarrow$](lineare_algebra_grundlagenimg535.png)
(ii) und 2. (ii)
![$\rightarrow$](lineare_algebra_grundlagenimg536.png)
(i)
- injektiv
surjektiv. Wir beweisen dies, indem wir zeigen, daß ,,nicht surjektiv
nicht injektiv''. Mit anderen Worten: Die Abbildung ist surjektiv, wenn sie injetktiv ist, da sie, wenn sie nicht surjektiv wäre, auch nicht injektiv sein könnte:
Surjektiv bedeutet, daß es für alls
in der Zielmenge ein
in der Ausgangsmenge gibt, so daß gilt
. Ist eine Abbildung nicht surjektiv, so hat ein
in der Zielmenge kein Urbild. Es gilt also
.
Sei
also
, dann4.1 ist
. Nun sagt das Schubfachprinzip von Dirichlet, daß, wenn wir
Objekte in
Schubladen legen, wobei
, in einer Schublade in allen Fällen mehr als ein Objekt liegen muß. Folglich ist die Injektivität nicht gegeben, da
aber
(nämlich genau in dem Schubfach, wo zwei Objekte liegen.)
- surjektiv
injektiv. Wir beweisen, daß wenn die Abbildung nicht injektiv ist, sie auch nicht surjektiv ist.
Ist
nicht injektiv, so gibt es
mit
. So ist
und da mindestens ein Element in
fehlt mindestens
, so daß
und somit die Abbildung nicht surjektiv ist, da es
in der Zielmenge gibt, für die es kein
in der Ausgangsmenge gibt.