Beweis wird geführt über Anzahl der Vektoren in den Basen der Vektorräume. Die Basis des Vektorraums
![$U_{1}\cap U_{2}$](lineare_algebra_grundlagenimg478.png)
läßt sich einmal zu der Basis des Vektorraums
![$U_{1}$](lineare_algebra_grundlagenimg479.png)
und einmal zu der des Vektorraums
![$U_{2}$](lineare_algebra_grundlagenimg480.png)
ergänzen. Die Basis des Vektorraums von
3.3 ist die Basis des Schnitts plus der zusätzlichen Vektoren von
![$U_{1}$](lineare_algebra_grundlagenimg483.png)
und
![$U_{2}$](lineare_algebra_grundlagenimg484.png)
.