Basis ::: Lineare Algebra

Basis

Die Familie der Vektoren $(v_{1},\ldots,v_{n})$ heißt Basis des Vektorraums

, wenn die einzelnen Vektoren der Familie

linear unabhängig zueinander sind
und wenn die Familie der Vektoren den Vektorraum ganz aufspannt, also ein Erzeugendensystem von ist:

$\begin{displaymath}V=span(v_{1},\ldots,v_{n})\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\mbox{und} \,\,\,\, \lambda_{1}v_{1}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}=0\Longrightarrow\lambda_{1}=\ldots=\lambda_{n}=0\end{displaymath}$

Somit ist ein Erzeugendensystem genau dann auch eine Basis, wenn die Vektoren des Erzeugendensystems linear unabhängig zueinander sind.