Ψ Die Informatikseite

Menü

Gauss-Algorithmus zum Herstellen der Zeilenstufenform einer Matrix

  • Ganz zu Beginn prüfen wir, ob die Matrix schon Zeilenstufenform hat. Ganz besonders $A=0$, also eine nur aus 0en bestehende Matrix, hat schon Zeilenstufenform.
  • Vor der Durchführung - und theoretisch auch während - darf und soll man Zeilen vertauschen, wenn es von Vorteil ist. Das bedeutet, daß die Zeilen so stehen, daß die Pivotelemente der Zeilen von oben nach unten von ganz links immer weiter nach rechts gehen. Das Pivotelement wird das Element genannt, welches von links gesehen in einer Zeile als erstes ungleich 0 ist.
  • Für jede Zeile $i$ startend bei der oberesten Zeile mit $i=1$ bis zur vorletzten Zeile tue folgendes:
    • für jede Zeile $j$, wobei $j>i$ - Die Zeile $j$ liegt somit immer unter der Zeile $i$ - addiere oder subtrahiere ein Vielfaches der Zeile $i$ von der Zeile $j$, so daß die Variable $a_{ji}$ - $i$ gibt die Spaltennummer an - 0 wird.
Eine Veranschaulichung des Gaussalgorithmusses:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\mbox{\textbf{Erster Durchlauf }} i=1&\\
...
...ghtarrow&0&0&0&X\\
&&&\uparrow&\\
\end{array}&\\
\end{array}\end{displaymath}



Aus der so gewonnenen Zeilenstufenform der Matrix lassen sich die Lösungen berechnen. Dies machen wir, indem wir das Gleichungssystem in Matrixschreibweise wieder in einzelne Gleichungen umformen und von unten beginnend nach den jeweiligen Variablen auflösen. Wenn das Gleichungssystem mehrere Lösungen haben kann, dann erkennen wir hierbei, dass es Variablen gibt, deren Werte wir nicht bestimmen können. Dieses sind dann die freien Variablen.