Polyeder ::: Computeranimation

Eine Menge bestehend aus endlich vielen, geschlossenen, einfachen Polygonen heißt Polygonnetz, falls gilt:

Der Durchschnitt der inneren Polynomgebiete von je zwei Polygonen ist leer (d.h. die Polygone überlappen sich nicht).
Der Schnitt zweier Polygone aus ist entweder leer, besteht aus einem Punkt oder besteht aus einer Kante.
Die Menge aller Kanten, die nur zu einem einzigen Polygon gehören ist leer oder bildet ein einziges geschlossenes Polygon.

Bemerkungen:

Es können Knoten existieren, die zu mehr als 2 Kanten gehören, da es ja auch mehrere Polygone gibt. Bei einem Würfel ist dies zum Beispiel der Fall.
Wenn die Menge der Kanten, die nur zu einem Polygon gehören, leer ist, dann ist das Polygonnetz geschlossen. Das Polygon, dessen Kanten alle Kanten bilden, die nur zu einem Polygon gehören, wäre der Rand eines offenen Polygonnetzes. Dieser Rand ist im Allgemeinen nicht eben.

Ein Polygonnetz heißt genau dann Polyeder, wenn

jede Kante der Polygone des Polygonnetzes genau zu zwei Polygonen gehört. Insbesondere sagt dies, dass das Netz geschlossen ist.
die zu einem Punkt indizierten⁴ Polygone lassen sich so anordnen, dass die Polygone $Q_{i}$ und $Q_{i+1}$ eine Kante gemeinsam haben. Dies schließt aus, dass es Verschürungen in einem Punkt des Polygons gibt.
die Vereinigungsmenge aller Polygone zusammenhängend ist.

Bemerkungen:

Der topologische Abschluss aller inneren Polygongebiete wird Oberfläche des Polyeders genannt. Die einzelnen Polygongebiete werden dann auch als Facetten bezeichnet.
Ein Polyeder teilt den dreidimensionalen Raum in ein Inneres und ein Äußeres des Polyeders.

Repräsentation von Polygonnetzen mit

für jedes Polygon Eckpunkte nacheinander auflisten. (Naiv)
Punkte durchnummerieren und jeden Punkt nur einmal als Referenz abspeichern. Polygone durch Verweise auf die entsprechend abgespeicherten Punkte definieren. Problem: Polygone können unterschiedlich viele Punkte haben.
mit BREP (Boundary Representation): Ebenen definieren und Beschränkungskanten einfügen. Vorteil: Bessere Möglichkeiten für Algorithmen zur Schnittmengenbildung, etc.
andere Möglichkeit: Halbkantendatenstruktur (hier nicht näher erläutert).

... indizierten ⁴: Indiziert ist ein Polygon vom Punkt genau dann, wenn es eine Kante hat, die den Punkt beinhaltet.

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