Gegeben ist eine

-Matrix
Wir bezeichnen mit

die Zeilenvektoren:
Wenn nun der Zeilenrang

ist, so haben wir

linear unabhängige Vektoren, die dazu eine Basis bilden:
Jeder der Zeilenvektoren

ist eine Linearkombination dieser Basisvektoren:
Um nun wieder jedes Element

der Matrix zu bekommen, müssen wir alle Koeffizienten, die den Zeilenvektor aus der Basis des Zeilenraumvektorraums darstellen, mit den entsprechenden Elementen der Basisvektoren multiplizieren. Für

ist dies zum Beispiel
Somit ist zeilenweise für alle
Wir können somit nun jeden Spaltenvektor folgendermaßen schreiben:
Somit sind diese Vektoren Linearkombination aus

Vektoren:
Diese Vektoren müssen nicht zwingend linear unabhängig zueinander sein. Allerdings ist ihre Höchstzahl auf

beschränkt, weshalb der
Spaltenrang
ist.
Man verfahre ebenso mit der transponierten Matrix und erhalte so ,,Zeilenrang
''. Somit ist
Zeilenrang

Spaltenrang