Sei

(

sind

Vektorräume) eine lineare Abbildung. Dann gilt der Dimensionssatz:
Beweis:
Bemerkungen:

Die Anzahl der Vektoren der Basis von V.

Die Anzahl der Vektoren im Untervektorraum Bild (f) von V

Die Anzahl der Vektoren im Kern von f. Dies ist wiederum ein Untervektorraum von V.
- Da Ker (f) ein Untervektorraum von V ist ist auf jeden Fall
Die Vektoren der Basis des Kernes
sind linear unabhängig zueinander. Aufgrund des Basisergängzungssatzes kann man nun zu dieser Basis linear unabhängige Vektoren in
hinzufügen und diese Basis so zu einer Basis von
ergänzen:
- Wir lassen nun die Abbildung
auf der Basis des Vektorraums
laufen. So erhalten wir
Die Basisvektoren des Kerns werden auf die 0 abgebildet. Somit ist die Anzahl der Basisvektoren des Bildes und damit die Dimension des Bildes