Unterabschnitte
Wir können eine Drehung mit Hilfe einer
- Drehachse und
- einem Drehwinkel
Wir können den zu rotierenden Ortsvektor
in eine parallele und in eine senkrechte Komponente zu
zerlegen:
- Parallele Komponente:
- Senkrechte Komponente:
--
- rotiert den Ortsvektor auf Position .
- Wir konstruieren einen Vektor , der senkrecht zu steht und senkrecht zu steht, also in der Ebene liegt6:
- Berechne gemäß
- Also
Quaternionen sind 4-Tupel reeller Zahlen, auf denen eine Multiplikation definiert ist. Sie besitzen dementsprechend
imaginäre Einheiten für die gilt:
Auf Quaternionen kann eine
Norm definiert werden
Einheitsquaternionen haben als Norm
.
Das
konjugierte Quaternion ist von der Form
Für ein Einheitsquaternion gilt, dass das Inverse das konjugierte Quaternion ist
Zwei Quaternionen lassen sich wie folgt multiplizieren
Mit Hilfe dieser Multiplikation können wir nun die Rotation eines Punktes
um eine Achse
erzeugen. Wir setzen
- Dabei ist das rein imaginäre Quaternion, welches den zu rotierenden Punkt darstellt. Die Koordindaten des Punktes werden in den Imaginärteil des Quaternions abgebildet
.
- Bilde auf das Einheitsquaternion
, wobei normiert sein muss7.
- Die Operation
ergibt wieder ein rein imaginäres Quaternion, welches rotiert ist.
Eine Verkettung der Rotationen durch Quaternionenmultiplikation ist durchführbar
mit
.
Leider interpoliert die normale Quaternionenrotation nicht linear. Man kann sich jedoch mit der sphärischen linearen Interpolation implementiert in SLERP Abhilfe verschaffen. Es ist eine Laufvariable
anzugeben, über die linear interpoliert wird mit der Formel:
und
sind Einheitsquaternionen.
Fußnoten
- ... liegt6
- Das Kreuzprodukt erzeugt einen Vektor, der zu der Ebene, die durch beide Vektoren aufgespannt wird, senkrecht steht.
- ... muss7
- Man kann sehr einfach beweisen, dass wenn normiert vorliegt, dieses Quaternion ein Einheitsquaternion ist.